レンダラー開発のための測光学覚書　補講　コサインの半球積分

補講

前回書いた記事に、

$\displaystyle \begin{align} \int_{\Omega} \cos \theta d\omega &= \pi \end{align}$

という式が出てきましたので、この解説を補講という形で解説したいと思います。

まず、Vol.1の記事から以下のことがわかります。

$\displaystyle \begin{align} d\omega = \sin \theta d \phi d \theta \end{align}$

drumath.hatenablog.com

このことから、

$\displaystyle \begin{align} \int_{\Omega} \cos \theta d \omega &= \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \int^{2\pi}_{0} \cos \theta \sin \theta d\phi d\theta \\ &= \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} 2\pi \cos \theta \sin \theta d\theta \\ &= 2\pi \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin \theta \left( \sin \theta \right)' d\theta \\ &= 2\pi \left[ \frac{1}{2} \sin^{2} \theta \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} \\ &= \frac{2\pi}{2} \left( 1^2-0^2 \right) \\ &= \pi \end{align}$