二進数コードで弾き語り

情報系大学生の徒然技術ブログ。

レンダラー開発のための測光学覚書 補講 コサインの半球積分

補講

前回書いた記事に、


 
\displaystyle
\begin{align}
\int_{\Omega} \cos \theta d\omega &= \pi
\end{align}
という式が出てきましたので、この解説を補講という形で解説したいと思います。

まず、Vol.1の記事から以下のことがわかります。


 
\displaystyle
\begin{align}
d\omega = \sin \theta d \phi d \theta
\end{align}
drumath.hatenablog.com

このことから、


 
\displaystyle
\begin{align}
\int_{\Omega} \cos \theta d \omega &= \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \int^{2\pi}_{0} \cos \theta \sin \theta d\phi d\theta \\
                                                           &= \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} 2\pi \cos \theta \sin \theta d\theta \\
                                                           &= 2\pi \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin \theta \left( \sin \theta \right)' d\theta \\
                                                           &= 2\pi \left[ \frac{1}{2} \sin^{2} \theta \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} \\
                                                           &= \frac{2\pi}{2} \left( 1^2-0^2 \right) \\
                                                           &= \pi
\end{align}