レンダラー開発のための測光学覚書Vol.1 立体角について
どうも。大学生の勉強の予習になればと、レンダラー制作に向けて少しずつ勉強を始めている、drumathです。実際わからないことだらけなので、『レンダラー開発のための測光学覚書』というシリーズで、学習してきたことを整理していきたいと思います。もしよろしければ、解釈や式の導出などが間違っていた場合に教えていただけるとありがたいです。
今回は本格的に光学の分野には触れませんが、物理量の基本となる立体角についてまとめていきます。
立体角とは?
ラジアンの定義を振り返る
高校になっていきなり導入された弧度法ですが、なぜとなるのか、説明できますか?「簡単だよ!」という方は飛ばしていただいて構いません。
弧度法の定義はで、は弧度法での角度、単位はラジアンです。はでの弧の長さ。は半径です。つまり、円周の長さと半径の比であらわされる値なのです。とても直観的だと思いませんか?対して度数法の場合、一周を360個に分けた内、どれくらいを占めるかという、とてもあいまいな値です。一周が360°なんて一体だれが考えたのでしょうか。古代文明の60進法からですよね、たぶん。
数学Ⅲを習うと、弧度法を使うメリットがわかります。詳しくはほかの記事に書いてあることを参照してほしいのですが、のような三角関数の微分は弧度法を使うことによって、きれいな形で表されます。個人的な解釈なのですが、三角関数自体、直角三角形の辺の比で表される関数なので、弧と半径の比という定義はなじみやすいのではないかと考えます。
微小立体角を求める
設定
光の物理量は微分と積分のオンパレードです。ですので、ここで微小立体角、を決めたいと思います。まず先ほどの画像の領域について、横が、縦がの微小長方形で、立体角がと定めます。
当然、
微分だ!
さて、では、が微小な量だとします。そうすると立体角も微小な量になり、長方形領域は点のように小さくなります。ここで領域の方向を以下のように定めます。
ではまず微小について考えましょう。長さである横の辺を含む円周の長さは弧度法の定義から求めることができるでしょう。弧度法での円周の長さは
では、なぜ円周の長さはなのでしょうか。それは中心角がである扇形の弧の長さがと表わされ、今はの場合を考えているからです。そして、微小は、この円周が微小の場合を考えていることがわかります。よって
すみません、たぶんもっとうまい説明があるし、なにしろすごく遠回りな考えなのはわかっていますが、私が思考した結果がこれなのです。引き続きについても同じような導出を行います。このやり方が嫌だという人は読み飛ばしてください。申し訳ございません。
さて、続きを見ていきましょう。長さである縦の辺を含む円は、半径ですので、となりますね。図にするとこんな感じ。
の長さを求めたときのように、このというのはにおいてだからでした。よって
終わりに
今回は以上になります。立体角の概念は光学において基本的なものになりますが、私は学習当初あまりイメージできなかったので、数学Ⅲを習っている高校生にわかるように記事を書いたつもりです。最後まで読んでいただき。ありがとうございました。